Bij dit type wiskundeprobleem heb je polynomiale, exponentiële, logaritmische of goniometrische vergelijkingen.

Het bestuderen van een functie bestaat uit het bestuderen van de veranderingen en limieten, het vinden van extremen en asymptoten (als die er zijn!), en ten slotte het grafisch weergeven van de vergelijking.

Met dat in het achterhoofd, en alle vaardigheden die je kunt oefenen, is het een vraag die bijna elk jaar op de examens terugkomt. Zoals je je kunt voorstellen, zal het beheersen van deze vaardigheden je ook goed van pas komen bij het leren van wiskunde.

Neem dit voorbeeld van een functie:

De beste leraren Wiskunde beschikbaar
Wout
5
5 (4 reviews)
Wout
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Ariana
5
5 (3 reviews)
Ariana
16€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Eda
Eda
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Lucas
5
5 (5 reviews)
Lucas
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Marie
Marie
15€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Anthony
Anthony
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Wout
5
5 (4 reviews)
Wout
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Ariana
5
5 (3 reviews)
Ariana
16€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Eda
Eda
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Lucas
5
5 (5 reviews)
Lucas
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Marie
Marie
15€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Anthony
Anthony
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Let's go

Differentiëren van een functie

De functie f(x) is een polynomiale functie gevormd door 3 termen. Hier hebben wij een spoedcursus differentiëren voor je:

Met dit in gedachten, is dit hoe onze vergelijking er zou uitzien na het differentiëren:

Een afgeleide ontbinden in factoren

Het doel van deze stap is om onze afgeleide zo eenvoudig mogelijk te maken, maar factorisatie is niet altijd mogelijk. Vergeet niet te ontbinden in factoren waar je kan, want dat helpt je later enorm.

Je bent misschien bekend met factorisatie uit onze vorige artikelen over het oplossen van vergelijkingen!

Als je naar de afgeleide hierboven kijkt, zou je moeten zien dat elke term een factor drie in zich heeft. Met dit in gedachten, gaan we onze uitdrukking vereenvoudigen:

Als je kijkt naar wat er binnen de haakjes aan de rechterkant staat, zie je misschien de bekende vorm van een kwadratische vergelijking! Als je een fanatieke lezer van onze artikelen bent, zul je je een eerder artikel over het oplossen van kwadratische vergelijkingen herinneren.

Hier is een handige truc: substitueer je waarden voor de kwadratische vergelijking in de discriminant. Als de waarde die je berekent groter is dan 0, dan heeft de vergelijking twee verschillende oplossingen. Als de discriminant gelijk is aan 0, dan is er één oplossing:

Zoals je ziet, is in ons geval 16 groter dan 0, dus zijn er twee oplossingen. Probeer zelf maar uit te vinden welke twee getallen je moet invoegen in (x+a)(x-b) om bovenstaande vergelijking op te stellen, maar we hebben hieronder het antwoord om het wat gemakkelijker te maken:

Dus, de oplossing van onze factorisatie was (x+3)(x-1), en de 3 aan de buitenkant komt van onze eerdere factorisatie van 3.

De beste leraren Wiskunde beschikbaar
Wout
5
5 (4 reviews)
Wout
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Ariana
5
5 (3 reviews)
Ariana
16€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Eda
Eda
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Lucas
5
5 (5 reviews)
Lucas
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Marie
Marie
15€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Anthony
Anthony
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Wout
5
5 (4 reviews)
Wout
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Ariana
5
5 (3 reviews)
Ariana
16€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Eda
Eda
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Lucas
5
5 (5 reviews)
Lucas
17€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Marie
Marie
15€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Anthony
Anthony
10€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Arthur
Arthur
20€
/u
Gift icon
1e les gratis!
Let's go

Grafieken van afgeleiden bestuderen

We kunnen enkele eigenschappen van de grafiek te weten komen voordat we hem tekenen, gewoon door de vergelijking zelf te analyseren.

Een van onze haakjes is (x+3). Hierdoor weten we dat als onze waarde van y 0 is, onze grafiek de x-as snijdt bij -3. Als x groter is dan -3, is het snijpunt van y negatief. Als x kleiner is dan -3, dan is het snijpunt van y positief.

Omgekeerd is de andere set haakjes (x-1). Dus het omgekeerde geldt: als x groter is dan 1, dan is het snijpunt van y positief. Als x kleiner is dan 1, dan is het snijpunt van y negatief.

Om nog even terug te komen op onze oorspronkelijke vergelijking, we hebben de volgende stelling:

Er bestaat een specifiek minimum of maximum punt voor een functie waar de afgeleide van die functie gelijk is aan 0.

We hebben net vastgesteld dat onze afgeleide gelijk is aan 0 bij x = -3 en x = 1. Om het punt te vinden waar een maximum of minimum punt bestaat in onze functie, moeten we deze waarden in de originele functie invoeren om hun equivalente y-coördinaten te vinden.

Dat levert op: (-3, 33) en (1, 1).

De vraag is nu: welk punt is een maximum punt, en welk een minimum punt? Eén manier is om de grafiek gewoon te schetsen, dan wordt het snel duidelijk, een andere manier is om naar de coördinaten zelf te kijken: 33 is duidelijk groter dan 1, dus dit zou het maximum punt zijn.

Wiskunde Tekenen
Probeer zoveel mogelijk wiskundige vergelijking te tekenen in grafieken. | Bron: Pexels

Een grafiek tekenen

Geweldig! We hebben nu de afgeleide gebruikt om de maximum en minimum punten van onze functie te berekenen.

De laatste stap is het schetsen van de grafiek. Om dit te doen, markeer je eerst je maximum en minimum punten op de grafiek. We weten dat de lijn door deze twee punten moet gaan, hoewel we misschien nog een beetje onzeker zijn over de vorm.

Misschien ken je de algemene vorm van een trinomiale vergelijking al, maar hoe dan ook, de veiligste methode is om enkele andere punten voor, tussen en na je minimum en maximum punten te kiezen, en dan de punten met elkaar te verbinden.

We kozen de volgende waarden:

  • x -> f(x)
  • -5 -> 1
  • -2 -> 28
  • -1 -> 17
  • 0 -> 6
  • 5 -> 161

Nu we een aantal punten hebben om de verbinding te maken tussen de maximum en minimum punten, kunnen we de grafiek zelf schetsen:

Wiskundige functie in een grafiek
De grafiek van een functie

Samenvattend

Dit was basis wiskundehulp voor het bestuderen van functies om vervolgens grafieken te tekenen. Er zijn enkele problemen die we hier niet hebben behandeld, hoewel het onwaarschijnlijk is dat ze in een examen vaak aan de orde zullen komen. Een voorbeeld daarvan zou zijn als er breuken in de functie zelf zitten.

Als je moeite had om dit allemaal te volgen, geen paniek! Dit is een onderwerp dat op hoog academisch niveau wordt onderwezen, hoewel het geen kwaad kan om wat extra kennis te hebben! Er zijn namelijk nog veel onopgeloste wiskunde vergelijkingen.

Je kunt ook overwegen een privéleraar te nemen om je kennis van wiskunde te vergroten. Je kunt er nu een vinden op SuperProf!

Wiskunde vergelijking
Los eerst de vergelijking op voordat je een grafiek gaat tekenen. | Bron: Pexels
>

Het platform dat privé leraren en leerlingen met elkaar verbindt

1ste les gratis

Vond je dit artikel leuk? Laat een beoordeling achter!

5,00 (1 beoordeling(en))
Laden...

Joep